已知椭圆3x2+2y2=6x与曲线x2+y2-k=0恒有交点,求k的取值范围

已知椭圆3x2+2y2=6x与曲线x2+y2-k=0恒有交点,求k的取值范围
已知椭圆3x2+2y2=6x与曲线x2+y2-k=0恒有交点,求k的取值范围

已知椭圆3x2+2y2=6x与曲线x2+y2-k=0恒有交点,求k的取值范围
两方程组成方程组,消去y,得关于x的一元二次方程.
△≥0只能保证方程(*)有解,而不能保证原方程组有解.因为原方程组中有隐含条件0≤x≤2,消去y后得到的关于x的一元二次方程看不到这个限制条件.
所以又3x2+2y2=6x,∴ 0≤x≤2 , 从而方程 的两根x1,x2应满足0≤x1≤2或0≤x2≤2,又函数f(x)= 的对称轴方程为且抛物线开口向上, .
故k的取值范围为[0,4].

解
3x2+2y2-6x=0
3(x-1)^2+2y^2=3
x的取值范围为 [0,2]
所以
k=x2+y2
=x^2+[6x-3x^2]/2
=-(1/2)x^2+3x
=-(1/2)[x^2-6x]
=-(1/2)[(x-3)^2-9]

所以最大值为 x=2 时, z=4
x=0时取最小值=0
所以k的取值范围为[0,4].

将y²=k-x²,(k≥0)， 代入到3x²+2y²=6x中
得：3x²+2(k-x²)=6x
x²-6x+2k=0
3x²+2y²=6x可以化为：3(x-1)²+2y²=3
0≤ x≤2
要求在0≤ x≤2内，(x-3)
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将y²=k-x²,(k≥0)， 代入到3x²+2y²=6x中
得：3x²+2(k-x²)=6x
x²-6x+2k=0
3x²+2y²=6x可以化为：3(x-1)²+2y²=3
0≤ x≤2
要求在0≤ x≤2内，(x-3)²+(2k-9)=0有解
在0≤ x≤2内，(x-3)²最小值是1，最大值是9
1≤ 9-2k≤9
所以k取值是{x|0≤k≤4}

收起

[0,4]详见dfcynz之解答