过点B(0,b)作椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的弦BP,求弦BP长度的最大值

过点B(0,b)作椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的弦BP,求弦BP长度的最大值
过点B(0,b)作椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的弦BP,求弦BP长度的最大值

过点B(0,b)作椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的弦BP,求弦BP长度的最大值
设P（x,y）
则 |BP|^2=x^2+(y+b)^2=[a^2/b^2](b^2-y^2)+(y+b)^2
=(1-a^2/b^2 )y^2+2by+a^2+b^2
此时-b≤y≤b 对称轴 y=b^3/a^2-b^2
①当 b^3/[a^2-b^2]>b即2b^2 >a^2 时
|BP|^2max=4b^2
|BP|max=2b
②当 b^3/[a^2-b^2≤ b即 2b^2≤ a^2时
BP|^2max=a^4/[a^2-b^2] | BP|max=[a^2（根号a^2-b^2)]/a^2-b^2

提示:设B(x,y),则弦BP平方=x^2+(y-b)^2
=a^2-a^2y^2/b^2+(y-b)^2
=-c^2y^2/b^2-2by+a^2+b^2
上式是关于y的二次函数,
配方求最大值,注意-b≤y≤b,