已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+3x(x属于R)的图像为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围.(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 19:16:20
已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+3x(x属于R)的图像为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围.(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围

已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+3x(x属于R)的图像为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围.(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围
已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+3x(x属于R)的图像为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围.
(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.(3)试问是否存在一条直线与曲线C 同时且于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,请说明理由.

已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+3x(x属于R)的图像为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围.(2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围
1)、求导:f’(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1
由任意点处的斜率就是f'(x),f’(x)的值域为〔-1,+∞)
所以曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围〔-1,+∞)
2)若曲线C上存在两点处的切线互相垂直,则切线的斜率范围在〔-1,0)U〔1,+∞)
则就是f’(x)∈〔-1,0)U〔1,+∞)
得x∈(-∞,2-√2〕U(1,3)U〔2+√2,+∞)
即其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围为(-∞,2-√2〕U(1,3)U〔2+√2,+∞)
3)、这条直线是切线嘛?一下子还看不明白

详解请看泰兴市第四高级中学高三数学二模测试题一

(3)设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B(x2,y2),x1≠x2
,则切线方程是:y-( 1/ 3* x1³-2x1²+3x1)=(x1²-4x1+3)(x-x1),
化简得:y=(x1²-4x1+3)x+(-2/ 3 *x1³+2x1²)
而过B(x2,y2)的切线方程是y=(x2...

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(3)设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B(x2,y2),x1≠x2
,则切线方程是:y-( 1/ 3* x1³-2x1²+3x1)=(x1²-4x1+3)(x-x1),
化简得:y=(x1²-4x1+3)x+(-2/ 3 *x1³+2x1²)
而过B(x2,y2)的切线方程是y=(x2²-4x2+3)x+(-2 /3 *x2³+2x2²),
由于两切线是同一直线,
则有:x1²-4x1+3=x2²-4x2+3,得x1+x2=4,
又由-2/ 3* x1³+2x1²=-2 /3 *x2³+2x2²,
即-2/ 3 (x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)+2(x1-x2)(x1+x2)=0
-1 /3 (x1²+x1x2+x2²)+4=0,即x1(x1+x2)+x2²-12=0
即(4-x2)×4+x2²-12=0×4+x2²-12=0,x2²-4x2+4=0
得x2=2,但当x2=2时,由x1+x2=4得x1=2,这与x1≠x2矛盾.
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.

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