作业帮在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,E是边AB上动点,过点E作EF⊥AB交AD延长线于点F,交BD于点M.问：（1）请判断△DMF的形状,并说明理由（2）设EB=x,△DMF的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出x的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 04:03:14
在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,E是边AB上动点,过点E作EF⊥AB交AD延长线于点F,交BD于点M.问：（1）请判断△DMF的形状,并说明理由（2）设EB=x,△DMF的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出x的取值范围.
在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,E是边AB上动点,过点E作EF⊥AB交AD延长线于点F,交BD于点M.问：
（1）请判断△DMF的形状,并说明理由
（2）设EB=x,△DMF的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出x的取值范围.
在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,E是边AB上动点,过点E作EF⊥AB交AD延长线于点F,交BD于点M.问：（1）请判断△DMF的形状,并说明理由（2）设EB=x,△DMF的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出x的取值范围.
第一个问题：
△DMF是等腰三角形.证明如下：
∵ABCD是菱形,∴AD＝AB,又∠A＝60°,∴△ABD是正三角形,∴∠ABD＝60°.
∵∠AEF＝90°,∴∠F＝30°,∠DMF＝∠BME＝30°.∴∠F＝∠DMF,
∴△DMF是等腰三角形.
第二个问题：
令FM交CD于G.
∵ABCD是菱形,∴AB∥DC,而EF⊥AB,∴DG⊥FM.
∵∠ABD＝60°,∠BEM＝90°,∴BM＝2BE＝2x,EM＝√3BE＝√3x.
∵△ABD是正三角形,∴BD＝AB＝4,∴DM＝4－2x,∴DG＝DM/2＝2－x.
又AE＝AB－BE＝4－x,∴EF＝√3AE＝√3（4－x）,
∴FM＝EF－EM＝√3（4－x）－√3x＝4√3－2√3x.
∴y＝FM×DG/2＝（4√3－2√3x）（2－x）/2＝√3（2－x）^2
即：y＝√3（2－x）^2.
过D作DH⊥AB交AB于H.很明显,EF只能在DH的右侧.
显然,BH＝AB/2＝2.∴x的取值范围是（0,2）.
［说明］
也可以对y＝√3（2－x）^2进行分析得到x的取值范围：
x表示线段,∴x＞0,而y必须大于0,得：x＜2,∴x的取值范围是（0,2）.