设x,y,z为正实数,且x+y+z>=xyz,求x^2+y^2+z^2/xyz的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 20:43:27
设x,y,z为正实数,且x+y+z>=xyz,求x^2+y^2+z^2/xyz的最小值

设x,y,z为正实数,且x+y+z>=xyz,求x^2+y^2+z^2/xyz的最小值
设x,y,z为正实数,且x+y+z>=xyz,求x^2+y^2+z^2/xyz的最小值

设x,y,z为正实数,且x+y+z>=xyz,求x^2+y^2+z^2/xyz的最小值
化成齐次式
((x^2+y^2+z^2)/xyz)^2 >= (xx+yy+zz)^2 /((x+y+z)xyz)
xx+yy+zz>=1/3*(x+y+z)^2
x+y+z >= 3(xyz)^(1/3)
xx+yy+zz >= 3(xyz)^(2/3)
三式相乘:
(xx+yy+zz)^2 >= 3(x+y+z)xyz
=>
((x^2+y^2+z^2)/xyz)^2 >=3
=>
(x^2+y^2+z^2)/xyz >= 3^(1/2)