如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过点C作AD的垂线,AB于点E,交AD于点F请说明∠ADC=∠BDE的理由

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 03:48:25

如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过点C作AD的垂线,AB于点E,交AD于点F请说明∠ADC=∠BDE的理由
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过点C作AD的垂线,AB于点E,交AD于点F
请说明∠ADC=∠BDE的理由

如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过点C作AD的垂线,AB于点E,交AD于点F请说明∠ADC=∠BDE的理由
作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵中点D,
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠PAH=∠PCF．
又∵∠APH=∠CEH,
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．

过点B作BG⊥BC交CE的延长线于G，因为三角形ACD≌三角形ABG，所以∠ADC=∠G，BG=CD
因为D为BC中点，所以BD=CD=BG，因此三角形BDE≌三角形BGE，所以∠G=∠BDE
因此∠ADC=∠BDE