如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60°.（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°,猜想BDCE是何种特殊四边形,并证明你的

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 05:43:33

如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60°.（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°,猜想BDCE是何种特殊四边形,并证明你的
如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60°.
（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°,猜想BDCE是何种特殊四边形,并证明你的猜想.

如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆D点,连接BD,CD,CE,且∠BDA=60°.（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°,猜想BDCE是何种特殊四边形,并证明你的
(1)证明:∠DBC=∠CAE=∠BAE;∠EBC=∠EBA.
则∠DBC+∠EBA=∠BAE+∠EBA,即∠DBE=∠DEB,DE=DB.
又∠BDA=60°,故：△BDE是等边三角形.(有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形)
(2)若∠BDC=120°,则∠CDE=60°.同理可证:DE=DC.
则△DEC为等边三角形,故BD=BE=DE=CE=CD.
即四边形BDCE为有一个内角为60度的菱形.

（1）△BDE为等边三角形．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1= ∠ABC，∠3= ∠BAC．

∴∠1+∠3= （∠ABC+∠BAC）= （180°-∠ACB）．

∵弧AB=弧AB，

∴∠ACB=∠BDA（同弧所对圆周角相等），

∵∠BDA=60°

∴∠ACB=60°，

∴∠1+∠3=60°．

∴∠BED=∠1+∠3=60°．

∴△BDE为等边三角形．

（2）四边形BDCE为菱形．

∵△BDE为等边三角形，

∴BD=DE=BE．

∵∠BDC=120°，∠BDE=60°，

∴∠EDC=60°．

又∵∠3=∠4，

∴BD=DC．

∴DE=DC．

∴△DEC为等边三角形．

∴DC=EC=DE=BD=EB．

则四边形BDCE为菱形．

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如图：①证明：在圆中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE= 1/2（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等边三角形．
②四边形BDCE是菱形．
证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四边形BDCE是菱形．

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（1）△BDE为等边三角形．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=12∠ABC，∠3=12∠BAC．
∴∠1+∠3=12（∠ABC+∠BAC）=12（180°-∠ACB）．
∵弧AB=弧AB，
∴∠ACB=∠BDA（同弧所对圆周角相等），
∵∠BDA=60°
∴∠ACB=60°，
∴∠1+∠3=60°．
∴∠BED=∠1+∠3=60°．
∴△BDE为等边三角形．
（2）四边形BDCE为菱形．
∵△BDE为等边三角形，
∴BD=DE=BE．
∵∠BDC=120°，∠BDE=60°，
∴∠EDC=60°．
又∵∠3=∠4，
∴BD=DC．
∴DE=DC．
∴△DEC为等边三角形．
∴DC=EC=DE=BD=EB．
则四边形BDCE为菱形．

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①证明：在圆中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE= 1/2（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等边三角形．
②四边形BDCE是菱形．
证明：∵∠BDC=120°，∠BD∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四边形BDCE是菱形．

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(1)
∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E
-> ∠BAE=∠EAC，∠ABE=∠EBC
延长AE交ΔABC的外接圆于点D
-> ∠EAC=∠CBD
-> ∠BAE=∠EAC=∠CBD
∠BED=∠ABE+∠BAE
∠EBD=∠EBC+∠CBD
-> ∠BED=∠EBD
∠BDA=60°

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(1)
∠BAC与∠ABC的角平分线AE,BE相交于点E
-> ∠BAE=∠EAC，∠ABE=∠EBC
延长AE交ΔABC的外接圆于点D
-> ∠EAC=∠CBD
-> ∠BAE=∠EAC=∠CBD
∠BED=∠ABE+∠BAE
∠EBD=∠EBC+∠CBD
-> ∠BED=∠EBD
∠BDA=60°
-> ∠BED=∠EBD=∠BDA=60°
-> ΔBDE为等边三角形
(2)
∠BDE=120°这个条件是不是应该∠BDC=120°
若∠BDC=120°，则四边形BDCE是个菱形
证：如上题所证ΔBDE为等边三角形
-> BE=BD=ED，∠BDE=60°
∠BDC=120°
-> ∠EDC=60°
AE平分∠BAC
-> BD=DC
-> ΔDCE为等边三角形
-> EC=DC=ED
BE=BD=ED
-> BE=BD=EC=DC
-> 四边形BDCE是个菱形
31

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回答者： eng_chang | 四级

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1.ABDC共圆，
角CBD=角CAD，
角BAD=角CAD=角CBD，
角BED=角BAD+角ABE，
角EBD=角CBD+角CBE=角BAD+角ABE，
角EBD=角BED，
∠BDA=60°
角EBD=角BED=角BDA=60度，
△BDE是等边三角形。
2.BDCE是菱形
∠BDC=120°
角CDE=...

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1.ABDC共圆，
角CBD=角CAD，
角BAD=角CAD=角CBD，
角BED=角BAD+角ABE，
角EBD=角CBD+角CBE=角BAD+角ABE，
角EBD=角BED，
∠BDA=60°
角EBD=角BED=角BDA=60度，
△BDE是等边三角形。
2.BDCE是菱形
∠BDC=120°
角CDE=60度，
CE平分角ACB，
同理可得角DEC=角DCE=角CDE=60度，
角BED=角CDE，角DEC=角BDA，
又BE=BD，
BDCE是菱形

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（1）△BDE为等边三角形．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1= ∠ABC，∠3= ∠BAC．

∴∠1+∠3= （∠ABC+∠BAC）= （180°-∠ACB）．

∵弧AB=弧AB，

∴∠ACB=∠BDA（同弧所对圆周角相等），

∵∠BDA=60°

∴∠ACB=60°，

∴∠1+∠3=60°．

∴∠BED=∠1+∠3=60°．

∴△BDE为等边三角形．

（2）四边形BDCE为菱形．

∵△BDE为等边三角形，

∴BD=DE=BE．

∵∠BDC=120°，∠BDE=60°，

∴∠EDC=60°．

又∵∠3=∠4，

∴BD=DC．

∴DE=DC．

∴△DEC为等边三角形．

∴DC=EC=DE=BD=EB．

则四边形BDCE为菱形．

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如图：①证明：在圆中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等边三角形．
②四边形BDCE是菱形．
证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四边形BDCE是菱形．
③由∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，AE是∠BAC的角平分线，
可得∠CAD=30°，AD为圆的直径，CD=CE=4，
∴AD=2CD=8，AC=4$\sqrt{3}$
因此S四边形ABDC=2×（4×4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$）=16$\sqrt{3}$．

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